Question

已知函數(shù)f（x）=ln（ax）-

x-a

x

（a≠0）．
（1）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；
（2）當a=1時，是否存在過點（-1，1）的直線與函數(shù)y=f（x）的圖象相切？若存在，有多少條？若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出函數(shù)的定義域，再求導，然后分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值．
（2）求導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義進行判斷．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（ax）-

x-a

x

（a≠0）．
∴ax＞0
∴f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，
令f′（x）=0，得x=a，
①a＞0時，則x＞0，函數(shù)f（x）在（0，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，
故當x=a時，函數(shù)有最小值，最小值為f（a）=2lna，
②a＜0時，則x＜0，函數(shù)f（x）在（-∞，a）上遞減，在（a，0）上遞增，
故當x=a時，函數(shù)有最小值，最小值為f（a）=2ln（-a），
（2）當a=1時，f（x）=lnx+

1

x

-1，（x＞0）
∴f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，（x＞0），
設切點為T（x₀，lnx₀+

1

x0

-1），
∴切線的斜率k=

x0-1

x02

=

lnx0+ 1 x0 -1-1

x0+1

，
∴l(xiāng)nx₀+

1

x02

+

1

x0

-3=0，①
設g（x）=lnx+

1

x

+

1

x2

-3，
∴g′（x）=

x2-x-1

x3

，
令g′（x）=0，解得x=

-1+ 5

2

∵x＞0，
∴g（x）在區(qū)間（0，

-1+ 5

2

）是減函數(shù)，（

-1+ 5

2

，+∞）上是增函數(shù)，
∵g（1）=ln1+1+1-3=-1＜0，g（

1

2

）=ln

1

2

+2+4-3=3-ln2＞0，
注意到g（x）在其定義域上的單調(diào)性，知g（x）=0僅在（

1

2

，1）內(nèi)有且僅有一根
所以方程①有且僅有一解，故符合條件的切線有且僅有一條．

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握導數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，極值之間的關系，考查學生的運算能力