Question

3．已知P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{_{1}^{2}}$=1（a₁＞b₁＞0）和雙曲線 $\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{_{2}^{2}}$=1（a₂＞0，b₂＞0）的一個(gè)交點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，則$\frac{_{1}}{_{2}}$的值是（　�。�

• A． 3
• B． -3
• C． -$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)，|PF₁|=m，|PF₂|=n，運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義，求得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，再由余弦定理和橢圓與雙曲線的基本量之間的關(guān)系，化簡(jiǎn)整理即可得到所求值．

解答 解：設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)，|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由橢圓的定義可得，m+n=2a₁，
由雙曲線的定義可得，m-n=2a₂，
解得m=a₁+a₂，n=a₁-a₂，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得
cos∠F₁PF₂=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}-（2c）^{2}}{2mn}$=$\frac{1}{2}$，
即為m²+n²-mn=4c²，
即有2a₁²+2a₂²-a₁²+a₂²=4c²，
即a₁²+3a₂²=4c²，
又a₁²-b₁²=c²，a₂²+b₂²=c²，
可得b₁²+c²+3c²-3b₂²=4c²，
則b₁²=3b₂²，
可得$\frac{_{1}}{_{2}}$=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，以及余弦定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．