Question

7．雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$與拋物線y²=2px（p＞0）相交于A，B兩點，直線AB恰好經(jīng)過它們的公共焦點F，則雙曲線的離心率為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 用a，b，c表示出A，B兩點坐標(biāo)，代入拋物線方程得出a，b，c的關(guān)系，從而可得離心率．

解答 解：由F為公共焦點可知c=$\frac{p}{2}$，即p=2c，
∵拋物線與雙曲線都關(guān)于x軸對稱，
∴A，B兩點關(guān)于x軸對稱，
∴直線AB的方程為x=c，
代入雙曲線方程得y=±$\frac{^{2}}{a}$，即A（c，$\frac{^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{^{2}}{a}$）．
∵A，B在拋物線上，
∴$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$=4c²，又b²=c²-a²，
∴c²-a²=2ac，即e²-2e-1=0，
解得e=1+$\sqrt{2}$或e=1-$\sqrt{2}$（舍）．
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了雙曲線與拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題．