Question

6．已知拋物線C：x²=2py（p＞0），過(guò)其焦點(diǎn)F作斜率為1的直線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=8，
（1）求拋物線C的方程；
（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的圓心在拋物線C上，且過(guò)點(diǎn)D（0，2），若動(dòng)圓P與x軸交于A，B兩點(diǎn)，且|DA|＜|DB|，求$\frac{{{{|{DA}|}^2}}}{{{{|{DB}|}^2}}}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線l的方程，代入拋物線方程，李媛媛韋達(dá)定理及拋物線的焦點(diǎn)弦公式，求出p，即可求出拋物線C的方程；
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，求得圓的方程，令y=0，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性及|DA|＜|DB|，求得A和B點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式及基本不等式的性質(zhì)即可求得$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}$的最小值．

解答 解：（1）拋物線C：x²=2py的焦點(diǎn)F（0，$\frac{p}{2}$），則直線l的方程：$y=x+\frac{p}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=2py，\;\;\\ y=x+\frac{p}{2}\end{array}\right.⇒{x^2}-2px-{p^2}=0$，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=2p，y₁+y₂=（x₁+x₂）+p=3p，
又因?yàn)橹本�MN過(guò)焦點(diǎn)，則|MN|=y₁+y₂+p=4p=8，解得：p=2，
∴該拋物線的方程為：x²=4y．
（2）設(shè)$P（{{x_0}，\;\;\frac{x_0^2}{4}}）$，由于圓P過(guò)點(diǎn)D（0，2），
則圓P的方程為：${（x-{x_0}）^2}+{（{y-\frac{x_0^2}{4}}）^2}={（0-{x_0}）^2}+{（{2-\frac{x_0^2}{4}}）^2}$，
令y=0，則${x^2}-2{x_0}x+x_0^2-4=0⇒x={x_0}±2$．由對(duì)稱(chēng)性，|DA|＜|DB|，不妨x₀＞0，則A（x₀-2，0），B（x₀+2，0）．
故$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}=\frac{{{{（{x_0}-2）}^2}+4}}{{{{（{x_0}+2）}^2}+4}}=\frac{{x_0^2-4{x_0}+8}}{{x_0^2+4{x_0}+8}}=1-\frac{{8{x_0}}}{{x_0^2+4{x_0}+8}}=1-\frac{8}{{{x_0}+\frac{8}{x_0}+4}}$，
由于${x_0}+\frac{8}{x_0}≥4\sqrt{2}$，
故$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}=1-\frac{8}{{{x_0}+\frac{8}{x_0}+4}}≥1-\frac{8}{{4\sqrt{2}+4}}=3-2\sqrt{2}$，（${x_0}=2\sqrt{2}$時(shí)取等）
∴$\frac{{|DA{|^2}}}{{|DB{|^2}}}$的最小值為$3-2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，考查基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．