Question

（2006•松江區(qū)模擬）已知復(fù)數(shù)z=a2-a-6+

a2+2a-15

a2-4

i，
（1）當(dāng)a∈（-2，2）時(shí)，求|z-

a2+2a-15

a2-4

i|的取值范圍；
（2）（理）是否存在實(shí)數(shù)a，使得z²＜0，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．
（文）是否存在實(shí)數(shù)a，使得z=-

.

z

，若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意知|z-

a2+2a-15

a2-4

i|=|a2-a-6|，當(dāng)a∈（-2，2）時(shí)，可得a²-a-6＜0，去掉絕對(duì)值號(hào)后配方求取值范圍
（2）理：由題設(shè)條件，若存在z²＜0，則必有復(fù)數(shù)實(shí)部為0，虛部不為0，由此關(guān)系得到a的滿足的不等式組，解a的可能取值，若解出值，說(shuō)明存在，否則不存在；
文：由題設(shè)，若 存在實(shí)數(shù)a，使得z=-

.

z

，則必有實(shí)部為0，由此得a²-a-6=0，解此方程若有符合條件的解，則說(shuō)明存在，否則不存在

解答：解：（1）∵a∈（-2，2），
∴|z-

a2+2a-15

a2-4

i|=|a2-a-6|=-a2+a+6=-(a-

1

2

)2+

25

4

∈(0，

25

4

]．
（2）（理）∵z²＜0，
∴z為純虛數(shù)，
∴

a2-a-6=(a-3)(a+2)=0 a2+2a-15 a2-4 = (a-3)(a+5) (a-2)(a+2) ≠0

⇒a∈Φ
（文）∵z=-

.

z

，
∴Rez=0，
∴a²-a-6=0⇒a=3或a=-2（舍去）
存在a=3滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，解題的關(guān)鍵是理解題意及復(fù)數(shù)的基本概念，將題設(shè)中條件正確轉(zhuǎn)化，本題考查了判斷推理的能力及轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，是復(fù)數(shù)中綜合性較強(qiáng)的題．