Question

2．方程2^2x+m•2^x+m+1=0有兩解，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析 利用換元法這t=2^x＞0，將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根的分布構(gòu)造一元二次函數(shù)，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：令2^x=t＞0，原方程即為t²+mt+m+1=0，
設(shè)f（t）=t²+mt+m+1，
若方程2^2x+m•2^x+m+1=0有兩解，等價(jià)為t²+m（1+t）+1=0有兩個(gè)正根，
則f（t）滿足，$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4（m+1）≥0}\\{-\frac{m}{2}＞0}\\{f（0）=m+1＞0}\\{\;}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4m-4≥0}\\{m＜0}\\{m＞-1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≥2+2\sqrt{2}或m≤2-2\sqrt{2}}\\{m＜0}\\{m＞-1}\end{array}\right.$，即-1＜m≤2+2$\sqrt{2}$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是-1＜m≤2+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用一元二次方程根的分布建立函數(shù)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．