Question

17．已知函數(shù)f（x）=a（x-2）²+2lnx．
（1）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知函數(shù)g（x）=f（x）-4a+$\frac{1}{4a}$（a≠0），當(dāng)x∈[2，+∞）時，函數(shù)g（x）圖象上的點(diǎn)均在不等式$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{y≥x}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=1時，求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）由題意使g（x）≥x在[2，+∞）上恒成立，設(shè)h（x）=g（x）-x，則h（x）_min≥0在[2，+∞）上恒成立，求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-4x+4+2lnx（x＞0），
∴f′（x）=2x-4+$\frac{2}{x}$=$\frac{2（x-1）^{2}}{x}$，
∵x＞0，∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由題意，使a（x-2）²+2lnx-4a+$\frac{1}{4a}$≥x在[2，+∞）上恒成立，
令h（x）=a（x-2）²+2lnx-4a+$\frac{1}{4a}$-x，則h（x）_min≥0在[2，+∞）上恒成立②；
∴h′（x）=$\frac{（x-2）（2ax-1）}{x}$；
（i）當(dāng)a＜0時，∵x＞2，∴h′（x）≤0，
∴h（x）在[2，+∞）上是減函數(shù)，且h（4）=2ln4-4+$\frac{1}{4a}$＜0，
∴②不成立；
（ii）當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{4}$時，2＜$\frac{1}{2a}$，此時h（x）在[2，$\frac{1}{2a}$]上是減函數(shù)，在[$\frac{1}{2a}$，+∞）上是增函數(shù)，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{2a}$）=a$（\frac{1}{2a}-2）^{2}$+2ln$\frac{1}{2a}$-4a+$\frac{1}{4a}$-$\frac{1}{2a}$=-2-ln2a，
∴只需-2-2ln2a≥0，解得a≤；∴0＜a≤$\frac{1}{2e}$時②成立；
（iii）當(dāng)a≥$\frac{1}{4}$時，2≥$\frac{1}{2a}$，此時h（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴h（x）_min=h（2）=2ln2-4a+$\frac{1}{4a}$≤2，
∵-4a+$\frac{1}{4a}$≤0，2ln2-2＜0，∴h（x）_min=h（2）＜0，∴②不成立；
綜上，0＜a≤$\frac{1}{2e}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求不等式恒成立的問題，是較難的題目．