【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)面BB1C1C為菱形,.
(1)求證:B1C⊥AB;
(2)若∠CBB1=60°,AC=BC,且點A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點O,求二面角B﹣AA1﹣C的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)由側(cè)面BB1C1C為菱形,得B1C⊥BO,再由AC=AB1,O為B1C的中點,得B1C⊥AO,利用直線與平面垂直的判定可得B1C⊥平面ABO,從而得到B1C⊥AB;
(2)點A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點O,即AO⊥平面BB1C1C,由(1)知OB⊥OB1,以O為坐標原點,分別以OB,OB1,OA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系.分別求出平面BAA1 的一個法向量與平面ACA1的一個法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角B﹣AA1﹣C的余弦值.
(1)證明:∵側(cè)面BB1C1C為菱形,∴B1C⊥BO,又AC=AB1,O為B1C的中點,∴B1C⊥AO,
而AO∩BO=O,∴B1C⊥平面ABO,得B1C⊥AB;
(2)解:∵點A在側(cè)面BB1C1C上的投影為點O,即AO⊥平面BB1C1C,又由(1)知OB⊥OB1,
∴以O為坐標原點,分別以OB,OB1,OA所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系.
∵∠CBB1=60°,AC=BC,
設(shè)BC=2a,則,,,,
,,.
設(shè)平面BAA1 的一個法向量為,
由,取z1=1,得;
設(shè)平面ACA1的一個法向量為,
由,取,得.
∴.由圖可知,二面角B﹣AA1﹣C為銳角,
∴二面角B﹣AA1﹣C的余弦值為.
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)討論函數(shù)在上的單調(diào)性;
(Ⅱ)判斷當時,與的圖象公切線的條數(shù),并說明理由.
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【題目】在衡陽市“創(chuàng)全國文明城市”(簡稱“創(chuàng)文”)活動中,市教育局對本市A,B,C,D四所高中學校按各校人數(shù)分層抽樣,隨機抽查了200人,將調(diào)查情況進行整理后制成下表:
學校 | A | B | C | D |
抽查人數(shù) | 10 | 15 | 100 | 75 |
“創(chuàng)文”活動中參與的人數(shù) | 9 | 10 | 80 | 49 |
假設(shè)每名高中學生是否參與“創(chuàng)文”活動是相互獨立的
(1)若本市共8000名高中學生,估計C學校參與“創(chuàng)文”活動的人數(shù);
(2)在上表中從A,B兩校沒有參與“創(chuàng)文”活動的同學中隨機抽取2人,求恰好A,B兩校各有1人沒有參與“創(chuàng)文”活動的概率;
(3)在隨機抽查的200名高中學生中,進行文明素養(yǎng)綜合素質(zhì)測評(滿分為100分),得到如上的頻率分布直方圖,其中.求a,b的值,并估計參與測評的學生得分的中位數(shù).(計算結(jié)果保留兩位小數(shù)).
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【題目】2020年1月1日《天津日報》發(fā)表文章總結(jié)天津海河英才計劃成果“厚植熱土 讓天下才天津用”——我市精細服務(wù)海河英才優(yōu)化引才結(jié)構(gòu).“海河英才”行動計劃,緊緊圍繞“一基地三區(qū)”定位,聚焦戰(zhàn)略性新興產(chǎn)業(yè)人才需求,大力、大膽集聚人才.政策實施1年半以來,截至2019年11月30日,累計引進各類人才落戶23.5萬人.具體比例如圖所示,新引進兩院院士,長江學者,杰出青年科學基金獲得者等頂尖領(lǐng)軍人才112人.記者李軍計劃從人才庫中隨機選取一部分英才進行跟蹤調(diào)查采訪.
(1)李軍抽取了8人其中學歷型人才4人,技能型人才3人,資格型人才1人,周二和周五隨機進行采訪,每天4人(4人順序任意),周五采訪學歷型人才人數(shù)不超過2人的概率;
(2)李軍抽取不同類型的人才有不同的采訪補貼,學歷型人才500元/人,技能型人才400元/人,資格型人才600元/人,則創(chuàng)業(yè)型急需型人才最少補貼多少元/人使每名人才平均采訪補貼費用大于等于500元/人?
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【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,E是棱AB的中點,動點F是側(cè)面ACC1A1(包括邊界)上一點,若EF//平面BCC1B1,則動點F的軌跡是( )
A.線段B.圓弧
C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+1|﹣|2x﹣2|的最大值為M,正實數(shù)a,b滿足a+b=M.
(1)求2a2+b2的最小值;
(2)求證:aabb≥ab.
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【題目】如圖,在正方體中,P,Q,M,N,H,R是各條棱的中點.
①直線平面;②;③P,Q,H,R四點共面;④平面.其中正確的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】已知函數(shù),,且與的圖象有一條斜率為1的公切線(e為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求;
(2)設(shè)函數(shù),證明:當時,有且僅有2個零點.
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【題目】已知正四棱錐的側(cè)棱和底面邊長相等,在這個正四棱錐的條棱中任取兩條,按下列方式定義隨機變量的值:
若這兩條棱所在的直線相交,則的值是這兩條棱所在直線的夾角大。ɑ《戎疲;
若這兩條棱所在的直線平行,則;
若這兩條棱所在的直線異面,則的值是這兩條棱所在直線所成角的大小(弧度制).
(1)求的值;
(2)求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.
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