Question

10．已知過(guò)點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)．
（1）求k的取值范圍；
（2）請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=12$（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如果存在請(qǐng)求出k的值，并求|MN|；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線方程，利用直線與圓的位置關(guān)系，列出不等式求解即可．
（2）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，利用直線與圓的方程聯(lián)立，通過(guò)韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，求出直線的斜率，然后判斷直線與圓的位置關(guān)系求解|MN|即可．

解答 解：（1）由題設(shè)，可知直線l的方程為y=kx+1，因?yàn)橹本�l與圓C交于兩點(diǎn)，
由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)（2，3），半徑R=1．
故由$\frac{|2k-3-1|}{1+{k}^{2}}$＜1，解得：$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$＜k＜$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$
所以k的取值范圍為得（$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
將y=kx+1代入方程：（x-2）²+（y-3）²=1，
整理得（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0．
所以x₁+x₂=$\frac{4（1+k）}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{7}{1+{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）（x₁x₂）+k（x₁+x₂）+1=$\frac{4k（1+k）}{1+{k}^{2}}$=12，
解得k=1，所以直線l的方程為y=x+1．
故圓心C在直線l上，所以|MN|=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．