Question

12．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n+1=4n-2（n≥2，n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁+3b₂+7b₃+…+（2ⁿ-1）b_n=a_n（n≥1，n∈N^*），且設(shè)S_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：S_n＜$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得（a_n-2n）+（a_n-1-2（n-1））=0，記c_n=a_n-2n，則c_n+c_n-1=0，c₁=0，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由b₁+3b₂+7b₃+…+（2ⁿ-1）b_n=a_n，得b₁+3b₂+7b₃+…+（2^n-1-1）b_n-1=a_n-1，從而得b_n=$\frac{2}{{2}^{n}-1}$≤$\frac{3}{{2}^{n}}$，由此能證明S_n＜$\frac{7}{2}$．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+a_n+1=4n-2（n≥2，n∈N^*），
∴（a_n-2n）+（a_n-1-2（n-1））=0，
記c_n=a_n-2n，則c_n+c_n-1=0，c₁=0，
∴c_n=0，
∴a_n=2n．
證明：（2）∵數(shù)列{b_n}滿足b₁+3b₂+7b₃+…+（2ⁿ-1）b_n=a_n（n≥1，n∈N^*），
∴b₁+3b₂+7b₃+…+（2^n-1-1）b_n-1=a_n-1，（n≥2），
∴（2ⁿ-1）b_n=a_n-a_n-1=2，
解得b_n=$\frac{2}{{2}^{n}-1}$≤$\frac{3}{{2}^{n}}$，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
≤2+$\frac{3}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}+…+\frac{3}{{2}^{n}}$
=2+3×$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{7}{2}-\frac{3}{{2}^{n}}$$＜\frac{7}{2}$．
∴S_n＜$\frac{7}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查不等式的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意數(shù)列性質(zhì)的合理運用．