Question

3．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{6}}{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）-2sinθ．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）點(diǎn)P、Q分別為直線l與曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求|PQ|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡曲線方程C，可得ρ=2cosθ，即ρ²=2ρcosθ，結(jié)合ρsinθ=y，ρcosθ=x，即可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程化為普通方程，結(jié)合圓心到直線的距離，結(jié)合圖形，即可得出|PQ|的最小值，即可得出|PQ|的取值范圍．

解答 解：（1）∵曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）-2sinθ
=2cosθ+2sinθ-2sinθ=2cosθ，
∴ρ²=2ρcosθ，
又∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x，
即C的直角坐標(biāo)方程為（x-1）²+y²=1，
（2）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{6}}{3}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去t可得，l的普通方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+2），即x-$\sqrt{2}y$+2=0，
∴圓C的圓心到l的距離為d=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴|PQ|的最小值為d-1=$\sqrt{3}$-1，
∴|PQ|的取值范圍為[$\sqrt{3}$-1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查參數(shù)方程化為普通方程，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．