Question

某班甲、乙、丙三名同學(xué)參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔考試，成績(jī)合格可獲得參加競(jìng)賽的資格．其中甲同學(xué)表示成績(jī)合格就去參加，但乙、丙同學(xué)約定：兩人成績(jī)都合格才一同參加，否則都不參加，設(shè)每人成績(jī)合格的概率都是

2

3

，求：
（1）三人中至少有1人成績(jī)合格的概率；
（2）去參加競(jìng)賽的人數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

（1）用A，B，C分別表示甲乙丙三人參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔考試成績(jī)合格，由題意知A，B，C相互獨(dú)立，且P（A）=

2

3

=P（B）=P（C），利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生及對(duì)立事件的定義則：三人中至少有1人成績(jī)合格的概率P=1-P(A)P(B)P(C)=1-(

1

3

)3=

26

27

，
   （2）由題意由于ξ表示去參加競(jìng)賽的人數(shù)，所以該隨機(jī)變量可以取值0，1，2，3，
P（ξ=0）=P(

.

A

B

.

C

)+P(

.

A

.

B

C)+P(

.

A

.

B

.

C

)=(

1

3

)2•

2

3

+(

1

3

)2•

2

3

+ (

1

3

)3 =

5

27

，
P（ξ=1）=P(A

.

B

C)+P(AB

.

C

 )+P(A

.

B

.

C

)=(

2

3

)2•

1

3

+(

2

3

)2•

1

3

 +(

1

3

)2•

2

3

 =

10

27

，
P（ξ=2）=P(

.

A

BC)=P( 

.

A

 )P(B)P(C)=

4

27

，
P（ξ=3）=P(A)P(B)P(C)=P(A)P(B)P(C)=

8

27

，
所以ξ的分布列為：



所以隨機(jī)變量ξ的期望Eξ=0×

5

27

+1×

10

27

+2×

4

27

+3×

8

27

=

42

27

．