Question

已知函數(shù)f（x）=lnx（x≥1），g（x）=

1

f′(x)

+af′（x），
（1）當(dāng)a=4，g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）g（x）的最小值為2，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=

1

x

，當(dāng)a=4時(shí)，g（x）=

1

f′(x)

+4f′（x）=x+

4

x

，分別解出g′（x）＞0，與g′（x）＜0，即可得出；
（2）g（x）=x+

a

x

．g′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

．對(duì)a分類討論：當(dāng)a＜1時(shí)，當(dāng)a=1時(shí)，當(dāng)a＞1時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

，
當(dāng)a=4時(shí)，g（x）=

1

f′(x)

+4f′（x）=x+

4

x

，
∴g′（x）=1-

4

x2

=

(x+2)(x-2)

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞2；令g′（x）＜0，解得1≤x＜2．
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為[1，2）．
（2）g（x）=x+

a

x

．
g′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

．
當(dāng)a＜1時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在x≥1時(shí)單調(diào)遞增，則當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值2，
∴g（1）=1+a=2，解得a=1，不滿足條件；
當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=x+

1

x

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)．
當(dāng)a＞1時(shí)，g′（x）=

x2-a

x2

=

(x+ a )(x- a )

x2

．
令g′（x）＞0，解得x＞

a

；令g′（x）＜0，解得1≤x＜

a

．
∴x=

a

時(shí)，g（x）取得極小值即最小值2．
∴g(

a

)=2

a

=2，解得a=1，舍去．
綜上可得：a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．