Question

已知A，B是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共頂點(diǎn)．P是雙曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（P、M都異于A、B），且滿(mǎn)足，其中λ∈R，設(shè)直線(xiàn)AP、BP、AM、BM的斜率分別記為k₁，k₂，k₃，k₄，k₁+k₂=5，則k₃+k₄=________．

Answer 1

-5
分析：設(shè)出點(diǎn)P、M的坐標(biāo)，代入雙曲線(xiàn)和橢圓的方程，再利用已知滿(mǎn)足及其斜率的計(jì)算公式即可求出．
解答：∵A，B是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共頂點(diǎn)，∴（不妨設(shè)）A（-a，0），B（a，0）．
設(shè)P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），∵，其中λ∈R，∴（x₁+a，y₁）+（x₁-a，y₁）=λ[（x₂+a，y₂）+（x₂-a，y₂）]，化為x₁y₂=x₂y₁．
∵P、M都異于A、B，∴y₁≠0，y₂≠0．∴．
由k₁+k₂==5，化為，（*）
又∵，∴，代入（*）化為．
k₃+k₄==，又，
∴，
∴k₃+k₄===-5．
故答案為-5．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握點(diǎn)在曲線(xiàn)上的意義、雙曲線(xiàn)和橢圓的方程、向量的運(yùn)算性質(zhì)、斜率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力．