Question

20．圓O上兩點C，D在直徑AB的兩側(cè)（如圖甲），沿直徑AB將圓O折起形成一個二面角（如圖乙），若∠DOB的平分線交弧$\widehat{BD}$于點G，交弦BD于點E，F(xiàn)為線段BC的中點．
（Ⅰ）證明：平面OGF∥平面CAD；
（Ⅱ）若二面角C-AB-D為直二面角，且AB=2，∠CAB=45°，∠DAB=60°，求直線FG與平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）利用中位線定理和圓的性質(zhì)分別證明OF∥AC，OG∥AD，故而得出平面OGF∥平面CAD；
（II）連結(jié)DG，則可證四邊形OADG是菱形，OC⊥平面ABD，以O為原點建立空間直角坐標系，求出平面BCD的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{FG}$的坐標，則直線FG與平面BCD所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{FG}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 證明：（Ⅰ）∵OF為△ABC的一條中位線
∴OF∥AC，又OF?平面ACD，AC?平面ACD，
∴OF∥平面ACD．
又∵OG為∠DOB的平分線，∴OG⊥BD，
∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BD，
∴OG∥AD，又OG?平面ACD，AD?平面ACD，
∴OG∥平面ACD，
又∵OG，OF為平面OGF內(nèi)的兩條相交直線，
∴平面OGF∥平面CAD
（Ⅱ）∵O為AB的中點，∴CO⊥AB，
∵平面CAB⊥平面DAB，平面CAB∩平面DAB=AB，OC?平面ABC，
∴CO⊥平面DAB，
又Rt△DAB中，AB=2，∠DAB=60°，∴AD=1，又OG∥AD，OG=1，OA=1，
∴四邊形ADGO為菱形，∠AOG=120°，
設DG中點為M，則∠AOM=90°，即OM⊥OB，
∴直線OM，OB，OC兩兩垂直，
以O為原點，以OM，OB，OC為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．
則B（0，1，0），C（0，0，1），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$-\frac{1}{2}，0）$，G（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}，0）$，F(xiàn)（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{FG}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$0，-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{BC}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{BD}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0）．
設平面BCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0，\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-y+z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$，令y=1，$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1）．
∴$\overrightarrow{FG}•\overrightarrow{n}$=1，|$\overrightarrow{FG}$|=1，$\overrightarrow{n}$=$\sqrt{5}$．
∴$cos＜\overrightarrow{FG}，\overrightarrow{n}＞=\frac{\overrightarrow{FG•}\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{FG}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴直線FG與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了面面平行的判定，空間角的計算，空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題．