Question

已知xⁿ=a₀+a₁（x+3）²+…+a_n-1（x+3）^n-1+a_n（x+2）ⁿ，（n≥2）．
（1）求a_n和a_n-1；
（2）將a₀記為第一項系數(shù)，a₁記為第二項系數(shù)，…a_n記為第n項系數(shù)，求式子奇數(shù)項系數(shù)和．

Answer 1

分析：（1）從xⁿ的系數(shù)來看可求出a_n，從x^n-1的系數(shù)來看可求出a_n-1；
（2）討論n的奇偶，然后令x=-2與令x=-4，將兩式相加可求出式子奇數(shù)項系數(shù)和．

解答：解：（1）從xⁿ的系數(shù)來看，a_n=1
從x^n-1的系數(shù)來看，a_n-1+a_n

C

1 n

×2=0⇒a_n-1=-2n
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，奇數(shù)項系數(shù)和為a₀+a₂+a₄+…+a_n-1
在xn=a0+a1(x+3)+a2(x+3)2+…+an-1(x+3)n-1+an(x+2)n中
令x=-2得到（-2）ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n-1
令x=-4得到(-4)n=a0-a1+a2-a3+…+an-1+an(-2)n
相加得到a0+a2+a4+…+an-1=

(-4)n

2

當(dāng)n為偶數(shù)時，奇數(shù)項系數(shù)和為a₀+a₂+a₄++a_n
令x=-2得到（-2）ⁿ=a₀+a₁+a₂+…+a_n-1
令x=-4得到(-4)n=a0-a1+a2-a3+…-an-1+an(-2)n
相加得到a0+a2+a4+…+an-2=

(-4)n

2

所以a₀+a₂+a₄+…+a_n=

(-4)n

2

+1

點評：本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，以及賦值法的應(yīng)用，同時考查了計算能力和轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．