Question

1．已知f（x）=（kx+b）•e^x，且曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為y=e（x-1）．
（Ⅰ）求k與b的值；
（Ⅱ）求${∫}_{0}^{1}$（x•e^x）dx．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，再根據(jù)題意可得f′（1）=e，f（1）=0，解得即可，
（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=（kx+b）•e^x，
所以f′（x）=（kx+k+b）e^x，
依題意：f′（1）=e，f（1）=0，
即$\left\{\begin{array}{l}{（2k+b）e=e}\\{（k+b）e=0}\end{array}\right.$解得k=1，b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=（x-1）•e^x，
f'（x）=x•e^x，
所以$\int_0^1{（x•{e^x}）dx=\left.{（x-1）•{e^x}}\right|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}$=0+1=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和定積分的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．