Question

已知拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M、N，其準(zhǔn)線(xiàn)l與x軸交于K點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線(xiàn)方程；
（2）求證：KF平分∠MKN；
（3）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)MO、NO分別交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)P、Q，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線(xiàn)y²=4x，可得拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1．
（2）證明：作MM₁⊥準(zhǔn)線(xiàn) 于M₁，NN₁⊥準(zhǔn)線(xiàn) 于N₁，則

|MF|

|NF|

=

|M1K|

|N1K|

，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義有

|MF|

|NF|

=

|M1M|

|N1N|

，從而可得KMM₁=∠KNN₁，進(jìn)而可知KF平分∠MKN
（3）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為(

y 2 1

4

，y1)，(

y 2 2

4

，y2)，根據(jù)M，O，P三點(diǎn)共線(xiàn)，確定P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)N，O，Q三點(diǎn)共線(xiàn)可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=my+1，代入拋物線(xiàn)y²=4x，化簡(jiǎn)可得y²-4my-4=0，從而可得PQ|=|

4

y1

-

4

y2

|=

4|y1-y2|

y1y2

=4

m2+1

，由此可求PQ|的最小值．

解答：（1）解：∵拋物線(xiàn)y²=4x
∴拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-1．
（2）證明：作MM₁⊥準(zhǔn)線(xiàn) 于M₁，NN₁⊥準(zhǔn)線(xiàn) 于N₁，則

|MF|

|NF|

=

|M1K|

|N1K|

，
又由拋物線(xiàn)的定義有

|MF|

|NF|

=

|M1M|

|N1N|

∴

|M1M|

|N1N|

=

|M1K|

|N1K|

∴

|N1K|

|N1N|

=

|M1K|

|M1M|

∴∠KMM₁=∠KNN₁，即∠MKF=∠NKF，
∴KF平分∠MKN
（3）解：設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為(

y 2 1

4

，y1)，(

y 2 2

4

，y2)，
M，O，P三點(diǎn)共線(xiàn)可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1，-

4

y1

)，
由N，O，Q三點(diǎn)共線(xiàn)可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，-

4

y2

)，
設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=my+1，代入拋物線(xiàn)y²=4x，化簡(jiǎn)可得y²-4my-4=0
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4
∴|PQ|=|

4

y1

-

4

y2

|=

4|y1-y2|

y1y2

=4

m2+1

又直線(xiàn)MN的傾斜角為θ，則m=cotθ（0＜θ＜π），
∴|PQ|=4

cot2θ+1

=

4

sinθ

∴θ=

π

2

時(shí)，|PQ|取得最小，最小值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題以?huà)佄锞�(xiàn)為載體，考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查拋物線(xiàn)的定義，正確表示|PQ|是關(guān)鍵．