Question

已知函數(shù)f（x）=e^x．
（Ⅰ）設(shè)函數(shù)g(x)=

a

f(x)

+x，a∈R，求g（x）的極值．
（Ⅱ）證明：h(x)=f(x)-

1

2

x2-x-1在R上為增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求g（x）的極值．
（Ⅱ）證明h′（x）≥0即可．

解答： （Ⅰ）解：g（x）=

a

ex

+x，
∴g′（x）=-

a

ex

+1=0，
∴x=lna，
∴x＜lna時，函數(shù)單調(diào)遞減，x＞lna時，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴x=lna時，g（x）的極小值為lna．
（Ⅱ）證明：∵h(x)=f(x)-

1

2

x2-x-1，
∴h′（x）=e^x-x-1，
∴h″（x）=e^x-1=0可得x=0，
∴函數(shù)h′（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴h′（x）≥h′（0）=0，
∴h(x)=f(x)-

1

2

x2-x-1在R上為增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．