Question

如圖，某機場建在一個海灣的半島上，飛機跑道AB的長為4.5km，且跑道所在的直線與海岸線l的夾角為60o(海岸線可以看作是直線)，跑道上離海岸線距離最近的點B到海岸線的距離BC＝4km．D為海灣一側(cè)海岸線CT上的一點，設(shè)CD＝x(km)，點D對跑道AB的視角為? ．

（1）將tan? 表示為x的函數(shù)；

（2）求點D的位置，使? 取得最大值．

 

 

Answer 1

（1）；（2）點距點6km.

【解析】

試題分析：（1）由圖可知，因此為了求，可通過求和，，下面關(guān)鍵要求，為止作，垂足為，這時會發(fā)現(xiàn)隨的取值不同，點可能在線段上，也可能在線段外，可能為銳角也可能為鈍角，這里出現(xiàn)了分類討論，作交延長線于，由已知可求出，這就是分類的分界點；（2）由（1）求得，要求它的最大值，可以采取兩種方法，一種是由于分子是一次，分母是二次的，可把分子作為整體，分子分母同時除以（當(dāng)然分母也已經(jīng)化為的多項式了），再用基本不等式求解，也可用導(dǎo)數(shù)知識求得最大值.

（1）過A分別作直線CD，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．

由題知，AB＝4.5，BC＝4，∠ABF＝90o－60o＝30o，

所以CE＝AF＝4.5×sin30o＝，BF＝4.5×cos30o＝，

AE＝CF＝BC＋BF＝．

因為CD＝x(x＞0)，所以tan∠BDC＝＝．

當(dāng)x＞時，ED＝x－，tan∠ADC＝＝＝（如圖1）；

當(dāng)0＜x＜時，ED＝－x，tan∠ADC＝－＝（如圖2）． 4分

所以tan?＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝

＝＝，其中x＞0且x≠．

當(dāng)x＝時tan?＝＝，符合上式．

所以tan?＝( x＞0) 8分

（2）（方法一）tan?＝＝＝，x＞0． 11分

因為4(x＋4)＋－41≥2－41＝39，

當(dāng)且僅當(dāng)4(x＋4)＝，即x＝6時取等號．

所以當(dāng)x＝6時，4(x＋4)＋－41取最小值39．

所以當(dāng)x＝6時，tan? 取最大值． 13分

由于y＝tanx在區(qū)間(0，）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝6時，? 取最大值．

答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點6km處的D點處觀看飛機跑道的視角最大 14分

（方法二）tan? ＝f(x)＝＝．

f ?(x)＝＝－，x＞0．

由f ?(x)＝0得x＝6． 11分

當(dāng)x∈（0，6）時，f ?(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（6，＋∞）時，f ?(x)＜0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．

所以函數(shù)f(x)在x＝6時取得極大值，也是最大值f(6)＝． 13分

由于y＝tanx在區(qū)間(0，）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝6時，? 取最大值．

答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點6km處的D點處觀看飛機跑道的視角最大． 14分

考點：（1）兩角差的正切公式；（2）函數(shù)的最值問題.