Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點．
（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅱ）求平面OAB與平面OCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）作AP⊥CD于點P，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系，求出與，然后利用向量的夾角公式求出所求即可；
（Ⅱ）先求平面OCD的法向量與平面OAB的一個法向量，然后利用向量的夾角公式求出平面OAB與平面OCD所成的二面角的余弦值．
解答：解：作AP⊥CD于點P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系，則，
O（0，0，2），M（0，0，1）
（Ⅰ）設(shè)AB與MD所成的角為θ，
∵，
∴，
∴AB與MD所成角的大小為（5分）
（Ⅱ）∵，
∴設(shè)平面OCD的法向量為，
則，即，
取，解得．（6分）
易知平面OAB的一個法向量為（7分）
．（9分）
由圖形知，平面OAB與平面OCD所成的二面角的余弦值為（10分）
點評：本小題主要考查直線與平面所成角、二面角及其平面角等有關(guān)知識，考查空間想象能力和思維能力，應(yīng)用向量知識解決立體幾何問題的能力．