Question

已知m＞0，討論函數(shù)f（x）=

mx2+3(m+1)x+3m+6

ex

的單調(diào)性．

Answer 1

分析：先求出f′（x）因?yàn)閙的取值決定了f′（x）的正負(fù)，所以分兩種情況討論m的取值范圍即可得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可．

解答：解：f′(x)=

-mx2-(m+3)x-3

ex

，
設(shè)g（x）=-mx²-（m+3）x-3，令g（x）=0，得x1=-

3

m

，x₂=-1．
①當(dāng)0＜m＜3時，x₁＜x₂，x，f′（x）與f（x）的變化情況如下：

x	（-∞，- 3 m ）	- 3 m	（- 3 m ，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴f（x）在區(qū)間（-∞，-

3

m

），（-1，+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間（-

3

m

，-1）上是增函數(shù)．
②當(dāng)m=3時，x₁=x₂，在區(qū)間（-∞，-1），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是減函數(shù)．
③當(dāng)m＞3時，x₁＞x₂，x，f′（x）與f（x）的變化情況如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，- 3 m ）	- 3 m	（- 3 m ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴f（x）在區(qū)間（-∞，-1），（-

3

m

，+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間（-1，-

3

m

）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．