Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-m-ln（x+1），其中m∈R．
（Ⅰ）若x=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求m的值并討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)m≤-1時(shí)，證明：f（x）＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f′（x），由題意可知f'（0）=0，由此可求m，把m值代入f′（x），由f′（x）的單調(diào)性及f'（0）=0可知其符合變化規(guī)律，從而可得單調(diào)性；
（Ⅱ）x∈R時(shí)，e^x≥x+1恒成立，x∈（-1，+∞）時(shí)，x≥ln（x+1）恒成立，據(jù)此進(jìn)行適當(dāng)放縮可得結(jié)論；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=e^x-m-

1

x+1

，
因?yàn)閤=0是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以f'（0）=0，即e^-m-1=0，解得m=0，
當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=e^x-ln（x+1），
f′(x)=ex-

1

x+1

為（-1，+∞）上的增函數(shù)，
又由于f'（0）=0，
故x∈（-1，0）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；
x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增；
（Ⅱ）當(dāng)m≤-1時(shí)，對(duì)于x∈（-1，+∞），
首先：x∈R時(shí)，e^x≥x+1恒成立；
其次：x∈（-1，+∞）時(shí)，x≥ln（x+1）恒成立；
所以e^x-m≥e^x+1＞e^x≥x+1＞x≥ln（x+1），
所以，e^x-m＞ln（x+1），即e^x-m-ln（x+1）=f（x）＞0成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．