Question

求函數(shù)f（x）=ax+

1-a

x

在x∈[

1

2

，2]上的最值．

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，兩個函數(shù)滿足：增+增=增，減+減=減．所以先不忙于求函數(shù)的導數(shù)，先利用函數(shù)的性質(zhì)單獨討論單調(diào)性，在參量a的范圍縮小后再對函數(shù)求導；可從a=0、a-1=0、a與1-a兩個中都為正、一正一負、一負一正、都為負入手．

解答： 解：直接從a 與1-a的符號分類：a＜0時，1-a＞0，故a與1-a不能同為負值，∴a與1-a的取值情況共有五類：
第一類：a=0；
第二類：1-a=0即a=1；
第三類：a＜0時，1-a＞0，即a＜0；
第四類：a＞0時，1-a＜0，即a＞1；
第五類：a＞0時，1-a＞0，即0＜a＜1；
（1）當a=0時，f（x）=

1

x

，∴f（x）在[

1

2

，2]遞減；
（2）當a=1時，f（x）=x，∴f（x）在[

1

2

，2]遞增；
（3）當a＜0時，∵1-a＞0，∵ax遞減，

1-a

x

遞減，∴f（x）在[

1

2

，2]遞減；
此時，f（x）_min=f(2)=2a+

1-a

2

=

3a+1

2

，即fmin=f(2)=

3a+1

2

，fmax=f(

1

2

)=

4-3a

2

；
（4）當a＞1時，∵a＞0時，1-a＜0，∵ax遞增，

1-a

x

遞增，∴f（x）在[

1

2

，2]遞增；
（5）當0＜a＜1時，∴a＞0且1-a＞0，
f′（x）=a-

1-a

x2

=

ax2-(1-a)

x2

=

a(x2- 1-a a )

x2

=

a(x+ 1-a a )(x- 1-a a )

x2

∵x∈[

1

2

，2]，∴x²＞0，x+

1-a a

＞0，又a＞0，∴f′（x）的正負取決于x-

1-a a

，
∴x∈（0，

1-a a

）時，x-

1-a a

＜0，∴f′（x）＜0，f（x）遞減，
同理，x∈（

1-a a

，+∞）時，f（x）遞增，
∴當

1-a a

≤

1

2

即a≥

4

5

時函數(shù)在[

1

2

，2]遞增；當

1-a a

≥2即a≤

1

5

時函數(shù)在[

1

2

，2]遞減；
當

1

2

≤

1-a a

≤2即

1

5

≤a≤

4

5

時函數(shù)在[

1

2

，2]先減后增，∴fmin=f(

1-a a

)=2

a(1-a)

，
再由f(

1

2

)＞f(2)，即(

a

2

+

1-a

1 2

)＞(2a+

1-a

2

)，解得a＜

1

2

，∴fmax=f(

1

2

)=

4-3a

2

，
當a≥

1

2

時，f_max=f（2）=

3a=1

2

；
∴綜上五方面，①當a≤

1

5

時，函數(shù)在[

1

2

，2]遞減，即fmin=f(2)=

3a+1

2

，fmax=f(

1

2

)=

4-3a

2

；
②當a≥

4

5

時，函數(shù)在[

1

2

，2]遞增，此時，fmin=f(

1

2

)=

4-3a

2

，f_max=f（2）=

3a=1

2

；
③當

1

5

≤a≤

4

5

時，函數(shù)在[

1

2

，2]先減后增，fmin=f(

1-a a

)=2

a(1-a)

，
而最大值分兩種情況：當

1

5

≤a≤

1

2

時，fmax=f(

1

2

)=

4-3a

2

；當

1

2

≤a≤

4

5

時，時，f_max=f（2）=

3a=1

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用及分類討論的數(shù)學思想．本題的難點在于函數(shù)表達式中參變量有兩部分，處理的技巧是先不忙于求函數(shù)的導數(shù)，先利用函數(shù)的性質(zhì)單獨討論單調(diào)性，在參量a的范圍縮小后再對函數(shù)求導；其次，本題的另一難點在于，函數(shù)在區(qū)間先減后增時，函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點取得，而大小還不一定，仍需要分類討論．