Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC是等腰直角三角形，AB=AC=1，側棱AA₁⊥底面ABC，且AA₁=2，E是BC的中點．
（1）求異面直線AE與A₁C所成角的余弦值；
（2）求直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角的正切值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取B₁C₁的中點E₁，連A₁E₁，則A₁E₁∥AE，即∠CA₁E₁即為異面直線AE與A₁C所成的角θ，連結E₁C，解三角形可得異面直線AE與A₁C所成角θ的大�。�
（2）由（1）知A₁H⊥平面BCC₁B₁，得到∠A₁CH是直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角，在直角三角形中計算．

解答： 解：（1）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取C₁B₁的中點H，連A₁H與HC，
∵E是BC的中點∴A₁H∥AE，∠CA₁H是異面直線AE與A₁C所成角，
∵底面ABC是等腰直角三角形，E是BC的中點，
∴AE⊥BC，
∴A₁H⊥BC，
∵側棱AA′⊥底面ABC，
∴側棱B₁B⊥A₁H，
∴A₁H⊥平面BCC₁B₁，∴A₁H⊥HC，
在Rt△A₁HC中，
cos∠CA₁H=

A 1H

A1C

=

2 2

5

10

10

；              （6分）
（2）由（1）知A₁H⊥平面BCC₁B₁
A₁C在平面BCC₁B₁上的射影是HC，
∴∠A₁CH是直線A₁C與平面BCC₁B₁所成角，
在Rt△A₁HC中  tan∠A₁CH=

A1H

BC

=

2 2

3 2 2

=

1

3

．            （12分）

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角以及線面角的三角函數(shù)值的求法，關鍵是正確找出平面角，利用平面幾何的知識解答，屬于中檔題．