Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分別為AB，CD的中點(diǎn)，AE的延長線交CB于F．現(xiàn)將△ACD沿CD折起，折成二面角A-CD-B，連接AF．
（I）求證：平面AEF⊥平面CBD；
（II）當(dāng)二面角A-CD-B為直二面角時(shí)，求直線AB與平面CBD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由題意知，△ACD是正三角形，折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，故CD⊥平面AEF，從而證明結(jié)論．
（II）AE⊥平面CBD，∠ABE就是直線AB與平面CBD所成的角，解直角三角形ABE，可求∠ABE的大�。�

解答：（I）證明：在Rt△ABC中，D為AB的中點(diǎn)，
得AD=CD=DB，又∠B=30°，得△ACD是正三角形，
又E是CD的中點(diǎn)，得AE⊥CD．（3分）
折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE?平面AED，EF?平面AEF，
故CD⊥平面AEF，（6分）
又CD?平面CDB，
故平面AEF⊥平面CBD．（7分）

（II）解：∵二面角A-CD-B是直二面角，
且AE⊥CD，∴AE⊥平面CBD．（8分）
連接EB，AB，則∠ABE就是直線AB與
平面CBD所成的角．（9分）
設(shè)AC=a，在△CDB中，
∠DCB=30°，CE=

a

2

，CB=

3

a，
∴EB2=CE2+CB2-2CE•CB•cos∠DCB=

7

4

a2，又AE=

3

2

a，在Rt△AEB中，tan∠ABE=

AE

EB

=

3 2 a

7 2 a

=

21

7

．
∴直線AB與平面CBD所成角的正切值為

21

7

．（14分）

點(diǎn)評：證明2個(gè)平面垂直，關(guān)鍵在一個(gè)平面內(nèi)找到一條直線和另一個(gè)平面垂直，求線面角，關(guān)鍵是找出線在平面內(nèi)的射影．