Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-

3

2

x²在x=1處的切線方程為12x-2y-15=0．
（1）求a的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性并求f（x）最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義建立條件關(guān)系即可求a的值；
（2）求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)在x=1處的切線方程為12x-2y-15=0，
∴切線斜率k=6，
函數(shù)的導數(shù)f′（x）=

a

x

-3x，
則f′（1）=a-3=6，解得a=9．
（2）∵a=9，∴f（x）=9lnx-

3

2

x²，函數(shù)的定義域為（0，+∞）
f′（x）=

9

x

-3x=

9-3x2

x

，
由f′（x）＞0，解得0＜x＜

3

，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，解得x＞

3

，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
則當x=

3

時，函數(shù)f（x）取值極大值，同時也是最大值f（

3

）=

9

2

ln3-

9

2

．

點評：本題主要考查導數(shù)的計算，利用導數(shù)的幾何意義以及導數(shù)和最值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．