Question

已知f（x）=t²（a-a²）+t+1＞0恒成立且t∈（0，2]，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：這是一道不等式恒成立問題，可以采用分離參數(shù)法，將a與t分離，然后研究關(guān)于t的函數(shù)的最值，最終解一個關(guān)于a的不等式．

解答： 解：原不等式可化為
a-a2＞-(

1

t

)2-

1

t

=-(

1

t

+

1

2

)2+

1

4

，

1

t

∈[

1

2

，+∞)．
等式右邊是一個關(guān)于

1

t

的二次函數(shù)，顯然該函數(shù)在[

1

2

，+∞)內(nèi)是減函數(shù)．
所以當(dāng)

1

t

=

1

2

時，右邊取得最大值-

3

4

．
所以要使原式恒成立，只需a-a2＞-

3

4

即可．
即4a²-4a-3＜0，解得-

1

2

＜a＜

3

2

．

點評：本題考查了不等式恒成立問題的解題思路以及二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值的求法．一般不等式恒成立問題常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解，要注意能分離參數(shù)的盡量分離參數(shù)．