Question

設(shè)命題p：實(shí)數(shù)x滿足x²-5ax+4a²＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足x²-4x+3≤0．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷,復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：（1）若a=1，求出命題p，q的等價(jià)條件，利用p∧q為真，則p，q為真，即可求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）求出命題p，q的等價(jià)條件，利用p是q的必要不充分條件，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）若a=1，不等式為x²-5x+4＜0，即1＜x＜4，即p：1＜x＜4，
由x²-4x+3≤0得（x-3）（x-1）≤0，
則1≤x≤3，即q：1≤x≤3，
若p∧q為真，則p，q同時(shí)為真，
即

1＜x＜4 1≤x≤3

，解得1＜x≤3，
則實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x≤3；
（2）∵x²-5ax+4a²＜0，
∴（x-a）（x-4a）＜0，
若a＞0，則不等式的解為a＜x＜4a，
若a＜0，則不等式的解為4a＜x＜a，
∵q：1≤x≤3，
∴若p是q的必要不充分條件，
則a＞0，且

a≤1 4a≥3

，
即

3

4

≤a≤1，
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[

3

4

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，以及不等式的求解，利用不等式的解法時(shí)解決本題的關(guān)鍵．