Question

已知函數(shù)f（x）=sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R，O＜φ＜π），f（

π

4

）=

3

2

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（

a

2

-

π

3

）=

5

13

，a∈（

π

2

，π），求sina的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,二倍角的余弦

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：（1）首先根據(jù)f（

π

4

）=

3

2

．化簡函數(shù)解析式，得到φ=

π

6

，然后求解函數(shù)表達式；
（2）根據(jù)f（

α

2

-

π

3

）=

5

13

，得到sin（α-

π

2

）=

5

13

，然后運用誘導(dǎo)公式和同角的平方關(guān)系，計算即可得到．

解答： 解：（1）∵f（

π

4

）=

3

2

．
∴sin

π

2

cosφ+cos

π

2

sinφ=

3

2

．
∴cosφ=

3

2

．
∵0＜φ＜π，
∴Φ=

π

6

，
∴f（x）=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

=sin（2x+

π

6

）．
∴f（x）的表達式f（x）=sin（2x+

π

6

）；
（2）∵f（

α

2

-

π

3

）=sin[2（

α

2

-

π

3

）+

π

6

]=

5

13

，
∴sin（α-

π

2

）=

5

13

，即-cosα=

5

13

，
即有cosα=-

5

13

，
∵α∈（

π

2

，π），
∴sinα=

1-cos2α

=

1-(- 5 13 )2

=

12

13

．

點評：本題重點考查了同角的平方關(guān)系、誘導(dǎo)公式的運用和兩角和與差的正弦公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．