Question

5．分析下列四個命題：
①若實數(shù)a，b，c滿足a+b+c=3，則a，b，c中至少有一個不小于1；
②若z為復(fù)數(shù)，且|z|=1，則|z-i|的最大值等于2；
③任意x∈（0，+∞）都有x＞sinx；
④若f（x）是奇函數(shù)，則∫${\;}_{-a}^{a}$f（x）dx=2∫${\;}_{0}^{a}$f（x）dx．
其中，正確命題的序號是①②③．（把你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

分析 ①可運用反證法，即可判斷；
②運用|z-i|≤|z|+|-i|=2，即可得到最大值；
③運用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性可證；
④根據(jù)定積分的幾何意義進行判斷．

解答 解：①則用反證法，假設(shè)a，b，c都不小于1，a≥1，b≥1，c≥1，則a+b+c≥3，與a+b+c＜3，矛盾，故可得a，b，c中至少有一個不小于1，故①正確；
②若z為復(fù)數(shù)，且|z|=1，則由|z-i|≤|z|+|-i|=2，可得|z-i|的最大值等于2，故②正確；
③任意x∈（0，+∞），根據(jù)（x-sinx）′=1-cosx≥0，可得y=x-sinx在R上為增函數(shù)，
當x=0時，y=x-sinx=0，可得任意x∈（0，+∞），都有x-sinx＞0，即x＞sinx，故③正確．
④f（x）是奇函數(shù)，∴其圖象關(guān)于原點對稱，
∵定積分的幾何意義是函數(shù)圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積的代數(shù)和，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-a，a]上的圖象必定關(guān)于原點O對稱，
∴函數(shù)圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積的代數(shù)和為0，
∴∫${\;}_{-a}^{a}$f（x）dx=0，故④錯誤．
故答案為：①②③．

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用，復(fù)數(shù)的幾何意義，及定積分的幾何意義，屬于中檔題．