Question

15．已知第一象限的點M在橢圓4x²+9y²=324上，且M到橢圓右準線的距離為4$\sqrt{5}$．
（1）求點M的坐標；
（2）如果點N在橢圓上，且線段MN經(jīng)過橢圓的右焦點，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （1）先求出右準線為$x=\frac{27\sqrt{5}}{5}$，設M（x₁，y₁），（x₁＞0，y₁＞0），列出方程組，能求出點M的坐標．
（2）橢圓的右焦點為F（3$\sqrt{5}$，0），求出直線MN為$\sqrt{89}$x+6y-3$\sqrt{445}$=0，與橢圓聯(lián)立，得233x²+36$\sqrt{39605}$x+3681=0，利用韋達定理和弦長公式能求出|MN|．

解答 解：（1）∵第一象限的點M在橢圓4x²+9y²=324上，且M到橢圓右準線的距離為4$\sqrt{5}$．
∴$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{36}$=1，右準線為$x=\frac{27\sqrt{5}}{5}$，
設M（x₁，y₁），（x₁＞0，y₁＞0），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{81}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{36}=1}\\{\frac{27\sqrt{5}}{5}-{x}_{1}=4\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
解得x₁=$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，${y}_{1}=\frac{4\sqrt{445}}{15}$．
∴點M的坐標為M（$\frac{7\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{445}}{15}$）．
（2）橢圓$\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{36}$=1的右焦點為F（3$\sqrt{5}$，0），
∴直線MN：$\frac{y}{x-3\sqrt{5}}=\frac{\frac{4\sqrt{445}}{15}}{\frac{7\sqrt{5}}{5}-3\sqrt{5}}$，即$\sqrt{89}$x+6y-3$\sqrt{445}$=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{81}+\frac{{y}^{2}}{36}=1}\\{\sqrt{89}x+6y-3\sqrt{445}=0}\end{array}\right.$，得233x²+36$\sqrt{39605}$x+3681=0，
△＞0，設N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{36\sqrt{39605}}{233}$，x₁x₂=$\frac{3681}{233}$，
∴|MN|=$\sqrt{（1+\frac{89}{36}）[（-\frac{36\sqrt{39605}}{233}）^{2}-4×\frac{3681}{233}]}$≈17.5．

點評 本題考查點的坐標的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理和弦長公式的合理運用．