已知函數(shù)f(x)=
12
x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b.其中a,b∈R.
(1)設(shè)兩曲線y=f(x)與y=g(x)有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處的切線相同,若a>0,試建立b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在(1)的條件下求b的最大值;
(3)若b=0時(shí),函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)-(2a+6)x在(0,4)上為單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
分析:(1)設(shè)公共點(diǎn)(x0,y0),根據(jù)題意得到,f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0),解出b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式;
(2)令b'(a)=0,得a=e
1
3
,經(jīng)過判斷當(dāng)a=e
1
3
時(shí),b(a)為極大值,即b的最大值;
(3)根據(jù)已知h(x)為單調(diào)函數(shù),則h′(x)≥0或h′(x)≤0,解出a的取值范圍即可.
解答:解:(1)設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(diǎn)(x0,y0)處的切線相同.
f′(x)=x+2a,g′(x)=
3a2
x

由題意知f(x0)=g(x0),f′(x0)=g′(x0
1
2
x
2
0
+2ax0=3a2lnx0+b
x0+2a=
3a2
x0
,
解得x0=a或x0=-3a(舍去),
b=
5a2
2
-3a2lna(a>0)
(2)b'(a)=5a-6alna-3a=2a(1-3lna).
令b'(a)=0,則a=e
1
3
,當(dāng)a變化時(shí),b'(a)及b(a)的變化情況如下表:精英家教網(wǎng)
所以,a=e
1
3
時(shí),b(a)有最大值
3
2
e
2
3

(3)h(x)=
1
2
x2+3a2lnx-6x,h′(x)=x+
3a2
x
-6
要使h(x)在(0,4)上單調(diào),
須h′(x)=x+
3a2
x
-6≤0或h′(x)=x+
3a2
x
-6≥0在(0,4)上恒成立.
h′(x)=x+
3a2
x
-6≤0在(0,4)上恒成立
?3a2≤-x2+6x在(0,4)上恒成立.
而-x2+6x>0,且-x2+6x可為足夠小的正數(shù),必有a=0
或h′(x)=x+
3a2
x
-6≥0在(0,4)上恒成立
?3a2≥(-x2+6x)max=9,得a≥
3
或a≤-
3

綜上,所求a的取值范圍為a≥
3
或a≤-
3
或a=0.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí),是一道關(guān)于函數(shù)的綜合題,應(yīng)熟練掌握其求解的方法步驟.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(  )
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∉Q
,則f[f(π)]=(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當(dāng)a=1時(shí),求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
π
6
),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是( 。

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已知函數(shù)f(x)=1+logax(a>0,a≠1),滿足f(9)=3,則f-1(log92)的值是( 。

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