Question

9．已知集合M={（a，b）|a≤一1，且b≤m}，其中m∈R．
（1）若f（a，b）=$\frac{b-1}{a-1}$的最小值為-1，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若任意（a，b）∈M，均有a•2^b-b-3a≥0，求實(shí)數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意，在（-1，m）處，f（a，b）=$\frac{b-1}{a-1}$的最小值為-1，即可求出m的值；
（2）設(shè)f（a）=a（2^b-3）-b，由題意可得，2^b-3＜0，且f（-1）≥0恒成立，再由g（x）=x+2^x在R上遞增，且g（1）=3，解不等式求交集即可．

解答 解：（1）由題意，在（-1，m）處，f（a，b）=$\frac{b-1}{a-1}$的最小值為-1，
∴$\frac{m-1}{-1-1}$=-1，
∴m=3；
（2）設(shè)f（a）=a（2^b-3）-b，
由于任意的實(shí)數(shù)a≤-1，恒有a•2^b-b-3a≥0成立，
則2^b-3＜0，且f（-1）≥0恒成立，
則有b＜log₂3，且3-b-2^b≥0，
由b+2^b≤3，又g（x）=x+2^x在R上遞增，且g（1）=3，
則g（b）≤g（1），解得b≤1．
又b＜log₂3，則有b≤1，
∴實(shí)數(shù)m的最大值為1．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用單調(diào)性解題，考查不等式的解法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．