Question

14．如圖，點E是平行四邊形ABCD的對角線BD的n（n∈N且n≥2）等分點中最靠近點D的點，線段AE的延長線交CD于點F，若$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，則x=$\frac{1}{n-1}$．（用含有n的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 根據(jù)E為n等分點，從而有$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{n}\overrightarrow{DB}$，這樣便可得到$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{n}\overrightarrow{AB}+\frac{n-1}{n}\overrightarrow{AD}$，A，E，F(xiàn)三點共線，從而可得到$\overrightarrow{AF}=\frac{k}{n}\overrightarrow{AB}+\frac{（n-1）k}{n}\overrightarrow{AD}$，這樣根據(jù)平面向量基本定理便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{n}=x}\\{\frac{（n-1）k}{n}=1}\end{array}\right.$，從而可以求出x的值．

解答 解：根據(jù)條件，$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{n}\overrightarrow{DB}$；
∴$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{n}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）$；
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{n}\overrightarrow{AB}+\frac{n-1}{n}\overrightarrow{AD}$；
$\overrightarrow{AF}$與$\overrightarrow{AE}$共線；
∴$\overrightarrow{AF}=k\overrightarrow{AE}=\frac{k}{n}\overrightarrow{AB}+\frac{（n-1）k}{n}\overrightarrow{AD}$；
又$\overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{n}=x}\\{\frac{（n-1）k}{n}=1}\end{array}\right.$；
∴$x=\frac{1}{n-1}$．
故答案為：$\frac{1}{n-1}$．

點評 考查向量數(shù)乘的幾何意義，向量減法的幾何意義，以及共線向量基本定理，平面向量基本定理，向量的數(shù)乘運算．