Question

1．已知曲線f（x）=lnx+ax+b在（1，f（1））處的切線與此點(diǎn)的直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$垂直．
（1）求a，b的值；
（2）若函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線斜率為$\frac{1}{e}$+1，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得a，b的方程，解得a，b；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，由切線的斜率，可得P的坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程．

解答 解：（1）f（x）=lnx+ax+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+a，
可得在（1，f（1））處的切線斜率為1+a，切點(diǎn)為（1，a+b），
由切線與過此點(diǎn)的直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$垂直，可得
1+a=2，且a+b=1，
解得a=1，b=0；
（2）由f（x）=lnx+x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，
由點(diǎn)P處的切線斜率為$\frac{1}{e}$+1，可得P的橫坐標(biāo)為e，
即有P（e，1+e），
可得函數(shù)f（x）在點(diǎn)P處的切線方程為y-（1+e）=（$\frac{1}{e}$+1）（x-e），
即為y=（$\frac{1}{e}$+1）x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．