Question

14．已知橢圓$G：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點為F，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，過點M（0，1）且與x軸平行的直線被橢圓G截得的線段長為$\sqrt{6}$．
（I）求橢圓G的方程；
（II）設(shè)動點P在橢圓G上（P不是頂點），若直線FP的斜率大于$\sqrt{2}$，求直線OP（O是坐標原點）的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由已知點$（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，1）$在橢圓G上，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，列出方程組求出a，b，能求出橢圓G的方程．
（II）點F的坐標為（-1，0），設(shè)點P的坐標為（x₀，y₀），直線FP的方程為y=k（x+1），從而得$2{x_0}^2+3{k^2}{（{x_0}+1）^2}=6$．設(shè)直線OP的方程為y=mx．得${m^2}=\frac{2}{{{x_0}^2}}-\frac{2}{3}$．由此能求出直線OP（O是坐標原點）的斜率的取值范圍．

解答 解：（I）∵橢圓$G：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦點為F，離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
過點M（0，1）且與x軸平行的直線被橢圓G截得的線段長為$\sqrt{6}$．
∴點$（\frac{{\sqrt{6}}}{2}，1）$在橢圓G上，又離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{{2{a^2}}}+\frac{1}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=\sqrt{2}.\end{array}\right.$
∴橢圓G的方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$．
（II）由（I）可知，橢圓G的方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$．∴點F的坐標為（-1，0）．
設(shè)點P的坐標為（x₀，y₀）（x₀≠-1，x₀≠0），直線FP的斜率為k，
則直線FP的方程為y=k（x+1），
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=k（{x_0}+1）\\ \frac{{{x_0}^2}}{3}+\frac{{{y_0}^2}}{2}=1\end{array}\right.$消去y₀，并整理得$2{x_0}^2+3{k^2}{（{x_0}+1）^2}=6$．
又由已知，得$k=\sqrt{\frac{{6-2{x_0}^2}}{{3{{（{x_0}+1）}^2}}}}＞\sqrt{2}$，解得$-\frac{3}{2}＜{x_0}＜-1$或-1＜x₀＜0．
設(shè)直線OP的斜率為m，則直線OP的方程為y=mx．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y_0}=m{x_0}\\ \frac{{{x_0}^2}}{3}+\frac{{{y_0}^2}}{2}=1\end{array}\right.$消去y₀，并整理得${m^2}=\frac{2}{{{x_0}^2}}-\frac{2}{3}$．
由-1＜x₀＜0，得m²＞$\frac{4}{3}$，
∵x₀＜0，y₀＞0，∴m＜0，∴m∈（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
由-$\frac{3}{2}$＜x₀＜-1，得$\frac{2}{9}＜{m}^{2}＜\frac{4}{3}$，
∵x₀＜0，y₀＞0，得m＜0，∴-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$＜m＜-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴直線OP（O是坐標原點）的斜率的取值范圍是（-∞，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）∪（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{\sqrt{2}}{3}$）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意橢圓與直線的位置關(guān)系的合理運用．