Question

9．我們把由半橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（x＞0）與半橢圓$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{c}^{2}}$=1（x＜0）合成的曲線稱作“果圓”（其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0）．如圖，設(shè)點F₀，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是相應(yīng)橢圓的焦點，A₁、A₂和B₁、B₂是“果圓”與x，y軸的交點，若△F₀F₁F₂是腰長為1的等腰直角三角形，則a，b的值分別為（　�。�

• A． 5，4
• B． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}，1$
• C． $1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}，1$

Answer 1

分析 先求出|F₀F₂|=$\sqrt{（^{2}-{c}^{2}）+{c}^{2}}$=b=1，|F₁F₂|=2$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$=1，由此利用橢圓的性質(zhì)能求出結(jié)果a，b．

解答 解：∵點F₀，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是相應(yīng)橢圓的焦點，A₁、A₂和B₁、B₂是“果圓”與x，y軸的交點，
△F₀F₁F₂是腰長為1的等腰直角三角形，
∴F₀（c，0），F(xiàn)₁（0，-$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$），F(xiàn)₂（0，$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$），
∴|F₀F₂|=$\sqrt{（^{2}-{c}^{2}）+{c}^{2}}$=b=1，|F₁F₂|=2$\sqrt{^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴c²=$\frac{3}{4}$，a²=b²+c²=$\frac{7}{4}$．
∴a=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，b=1．
故選：B．

點評 本題考查實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意兩點間距離公式、橢圓性質(zhì)的合理運用．