已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
3
,它的上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,直線AF1,AF2分別交橢圓于點(diǎn)B,C.
(1)求證直線BO平分線段AC;
(2)設(shè)點(diǎn)P(m,n)(m,n為常數(shù))在直線BO上且在橢圓外,過(guò)P的動(dòng)直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)M,N,在線段MN上取點(diǎn)Q,滿足
MP
NP
=
MQ
QN
,試證明點(diǎn)Q恒在一定直線上.
分析:(1)利用離心率計(jì)算公式e=
c
a
=
3
3
,及b2=a2-c2=2c2,可以用c表示a,b,即可表示橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,進(jìn)而得到點(diǎn)A,F(xiàn)1的坐標(biāo);與橢圓的方程聯(lián)立即可解得點(diǎn)B的坐標(biāo),利用對(duì)稱性即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到相等AC的中點(diǎn)坐標(biāo),滿足直線BO的方程即可;
(2)設(shè)過(guò)P的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x1,y1),N(x2,y2),點(diǎn)Q(x,y),可得2
x
2
1
+3
y
2
1
=6c2
,2
x
2
2
+3
y
2
2
=6c2
.設(shè)
MP
NP
=
MQ
QN
=λ,則
MP
NP
,
MQ
QN
,利用向量相等即可得到m,n,x,y用x1,y1,x2,y2,λ表示,進(jìn)而得到2mx+3ny為常數(shù)即可.
解答:證明:(1)由題意,e=
c
a
=
3
3
,則a=
3
c
,b2=a2-c2=2c2,
故橢圓方程為
x2
3c2
+
y2
2c2
=1
,
即2x2+3y2-6c2=0,其中A(0,
2
c)
,F(xiàn)1(-c,0),
∴直線AF1的斜率為
2
,此時(shí)直線AF1的方程為y=
2
(x+c)

聯(lián)立
2x2+3y2-6c2=0
y=
2
(x+c)
得2x2+3cx=0,解得x1=0(舍)和x2=-
3
2
c
,即B(-
3
2
c,-
2
2
c)
,
由對(duì)稱性知C(
3
2
c,-
2
2
c)

直線BO的方程為y=
2
3
x
,
線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(
3
4
c,
2
c
4
)
,
AC的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線BO的方程,即直線BO平分線段AC.
(2)設(shè)過(guò)P的直線l與橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x1,y1),N(x2,y2),點(diǎn)Q(x,y),
2
x
2
1
+3
y
2
1
=6c2
2
x
2
2
+3
y
2
2
=6c2

設(shè)
MP
NP
=
MQ
QN
=λ,則
MP
NP
MQ
QN
,
求得m=
x1x2
1-λ
,x=
x1x2
1+λ
,n=
y1y2
1-λ
,y=
y1y2
1+λ

mx=
x
2
1
-λ2
x
2
2
1-λ2
,ny=
y
2
1
-λ2
y
2
2
1-λ2
,
∴2mx+3ny=
2
x
2
1
-2λ2
x
2
2
+3
y
2
1
-3λ2
y
2
2
1-λ2
=
2
x
2
1
+3
y
2
1
-λ2(2
x
2
2
+3
y
2
2
)
1-λ2
=
6c2-6c2λ2
1-λ2
=6c2,
由于m,n,C為常數(shù),所以點(diǎn)Q恒在直線2mx+3ny-6c2=0上.
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量共線等基礎(chǔ)知識(shí)與方法,需要較強(qiáng)的推理能力與計(jì)算能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),焦點(diǎn)為F1、F2,雙曲線G:x2-y2=m(m>0)的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D,已知三角形ABF2的周長(zhǎng)等于8
2
,橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2

(1)求橢圓E與雙曲線G的方程;
(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1和k2,探求k1和k2的關(guān)系;
(3)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立?若存在,試求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以F1(-c,0)為圓心,以a-c為半徑作圓F1,過(guò)點(diǎn)B2(0,b)作圓F1的兩條切線,設(shè)切點(diǎn)為M、N.
(1)若過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1(0,-b)時(shí),求此橢圓的離心率;
(2)若直線MN的斜率為-1,且原點(diǎn)到直線MN的距離為4(
2
-1),求此時(shí)的橢圓方程;
(3)是否存在橢圓E,使得直線MN的斜率k在區(qū)間(-
2
2
,-
3
3
)內(nèi)取值?若存在,求出橢圓E的離心率e的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
3
=1
(a
3
)的離心率e=
1
2
.直線x=t(t>0)與曲線 E交于不同的兩點(diǎn)M,N,以線段MN 為直徑作圓 C,圓心為 C.
 (1)求橢圓E的方程;
 (2)若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A,B,求△ABC的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•佛山二模)已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個(gè)交點(diǎn)為F1(-
3
,0)
,而且過(guò)點(diǎn)H(
3
,
1
2
)

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1,A2,P是橢圓上異于A1,A2的任一點(diǎn),直線PA1,PA2分別交x軸于點(diǎn)N,M,若直線OT與過(guò)點(diǎn)M,N的圓G相切,切點(diǎn)為T.證明:線段OT的長(zhǎng)為定值,并求出該定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+y2=1
(a>1)的離心率e=
3
2
,直線x=2t(t>0)與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N,以線段MN為直徑作圓C,圓心為C
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候,求t的值;
(Ⅲ)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OMN面積的最大值.

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