Question

14．設函數(shù) f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R
（1）當m=1時，求f（x）的極值；
（2）若對任意b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立，求 m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導數(shù)求函數(shù)極值；（2）$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立．等價于f（b）-b＜f（a）-a恒成立．等價于h（x）=f（x）-x）在（0，+∞）上單調遞減．

解答 解：（1）由題設，當m=1時，f（x）=ln x+$\frac{1}{x}$（x＞0），
則$f'（x）=\frac{x-1}{x^2}$，令f′（x）=0，則x=1
∴當x∈（0，1），f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上單調遞減，
當x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴x=1時，f（x）取得極小值f（1）=ln 1+1=1，
∴f（x）的極小值為1．
（2）對任意的b＞a＞0，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$＜1恒成立．
等價于f（b）-b＜f（a）-a恒成立．（*）
設h（x）=f（x）-x=ln x+$\frac{m}{x}$-x（x＞0），
∴（*）等價于h（x）在（0，+∞）上單調遞減，
由h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{x2}$-1≤0在（0，+∞）上恒成立，
得m≥（-x²+x ）（x＞0）恒成立，等價于m≥（-x²+x ）max（x＞0），
∵當x=$\frac{1}{2}$時，y=-x²+x （x＞0）有最大值為$\frac{1}{4}$
∴m≥$\frac{1}{4}$
∴m的取值范圍為：[$\frac{1}{4}，+∞）$

點評 本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)極值，同時考查了轉化思想，把不等式恒成立問題轉化為函數(shù)的單調性問題，屬于難題．