Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+cosϕ}\\{y=2+sinϕ}\end{array}}\right.$（ϕ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcosθ+2=0．
（1）求C₁的極坐標(biāo)方程與C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線C₃的極坐標(biāo)方程為$θ=\frac{π}{4}（{ρ∈R}）$，設(shè)C₃與C₁的交點(diǎn)為M，N，P為C₂上的一點(diǎn)，且△PMN的面積等于1，求P點(diǎn)的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）消調(diào)參數(shù)θ，即可得到普通方程，由極坐標(biāo)方程即可直接得到普通方程；
（2）將$θ=\frac{π}{4}$代入ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，根據(jù)韋達(dá)定理，即可求出|MN|的值，根據(jù)三角形的面積公式可得P點(diǎn)到直線$θ=\frac{π}{4}$距離為$\sqrt{2}$，設(shè)P（-2，y），即可求出答案

解答 解：（1）C₁的普通方程為（x-1）²+（y-2）²=1，即x²+y²-2x-4y+4=0，
因?yàn)閤=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C₁的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，C₂的直角坐標(biāo)方程為x=-2；
（2）將$θ=\frac{π}{4}$代入ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0，
得${ρ^2}-3\sqrt{2}ρ+4=0$得${ρ_1}=2\sqrt{2}，{ρ_2}=\sqrt{2}$，
所以$|{MN}|=\sqrt{2}$，
因?yàn)椤鱌MN的面積等于1，所以P點(diǎn)到直線$θ=\frac{π}{4}$即x-y=0距離為$\sqrt{2}$，
設(shè)P（-2，y），則$\frac{{|{-2-y}|}}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}，|{y+2}|=2，y=0$或-4，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）或（-2，-4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了把極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，屬于中檔題．