Question

（本題滿分10分） 如圖，已知平面，于D，。

（Ⅰ）令，，試把表示為的函數(shù)，并求其最大值；

（Ⅱ）在直線PA上是否存在一點(diǎn)Q，使得？

 

Answer 1

（Ⅰ）=，；（Ⅱ）存在.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用三角形的一個(gè)外角等于其不相鄰的兩內(nèi)角和,所以,再根據(jù)即可求出;根據(jù)來確定自變量的范圍,進(jìn)而確定的最大值;（Ⅱ）點(diǎn)Q的存在性等價(jià)于：是否存在點(diǎn)Q使得,得出關(guān)于的不等式,若不等式有解,則存在這樣的點(diǎn),否則就不存在這樣的點(diǎn).

試題解析：（Ⅰ）∵ 面，于D，

∴ 。

∴ 。

∴ 。

∵ 為在面上的射影。

∴ ，即。

∴ 。

即的最大值為，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.

（Ⅱ）由正切函數(shù)的單調(diào)性可知：點(diǎn)Q的存在性等價(jià)于：是否存在點(diǎn)Q使得。

。

令，解得：，與的交集非空.

∴ 滿足條件的點(diǎn)Q存在。

考點(diǎn)：1、兩角差的正切公式；2、空間想象能力、綜合分析和解決問題的能力。