Question

6．若關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+4＞0}\\{a{x}^{2}-x+1＞0}\end{array}\right.$對(duì)于x∈[1，3]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{4}$，4）．

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立問(wèn)題，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜x+\frac{4}{x}}\\{a＞\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}}\end{array}\right.$在x∈[1，3]恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：若關(guān)于x的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+4＞0}\\{a{x}^{2}-x+1＞0}\end{array}\right.$對(duì)于x∈[1，3]恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＜x+\frac{4}{x}}\\{a＞\frac{1}{x}-\frac{1}{{x}^{2}}}\end{array}\right.$在x∈[1，3]恒成立，
令f（x）=x+$\frac{4}{x}$，則f（x）≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)“=”成立，
故a＜4，
令g（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，g′（x）=$\frac{2-x}{{x}^{3}}$，
令g′（x）＞0，解得：1≤x＜2，令g′（x）＜0，解得：2＜x≤3，
∴g（x）在[1，2）遞增，在（2，3]遞減，
∴g（x）_max=g（2）=$\frac{1}{4}$，
故a＞$\frac{1}{4}$，
綜上，$\frac{1}{4}$＜a＜4，
故答案為：（$\frac{1}{4}$，4）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．