Question

12．若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）-2f（x）-4＞0，f（0）=-1，則不等式f（x）＞e^2x-2（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，-1）∪（0，+∞）
• C． （-∞，0）∪（0，+∞）
• D． （-1，+∞）

Answer 1

分析 由已知條件構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$，求導(dǎo)，根據(jù)已知求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可f（x）＞e^2x-2的解集．

解答 解：由f（x）＞e^2x-2，得f（x）+2＞e^2x，得$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$＞1，令F（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$，
則F′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{2x}-2[f（x）+2]{e}^{2x}}{（{e}^{2x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-2f（x）-4}{{e}^{2x}}$，
∵f′（x）-2f（x）-4＞0，
∴F′（x）＞0，
∴F（x）=$\frac{f（x）+2}{{e}^{2x}}$在R上單調(diào)遞增，
f（0）=-1，F(xiàn)（0）=1，
∴原不等式等價于F（x）＞F（0），
∴x＞0，故不等式f（x）＞e^2x-2的解集為（0，+∞），
故答案選：A．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的結(jié)合，根據(jù)已知條件構(gòu)造輔助函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．