Question

2．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，經(jīng)過右焦點F₂的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，且|PF₂|=2|F₂Q|，PQ⊥F₁Q，則雙曲線C的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{17}}{3}$

Answer 1

分析 設(shè)|F₂Q|=m，根據(jù)雙曲線的定義分別求出|PF₁|=2m+2a，|QF₁|=m+2a，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)建立方程關(guān)系求出m=$\frac{2}{3}$a，然后再次利用直角三角形的關(guān)系建立a，c的方程關(guān)系進行求解即可．

解答 解：∵經(jīng)過右焦點F₂的直線與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，且|PF₂|=2|F₂Q|，∴設(shè)|F₂Q|=m，則|PF₂|=2|F₂Q|=2m，
|PF₁|=|PF₂|+2a=2m+2a，
|QF₁|=|QF₂|+2a=m+2a，
∵PQ⊥F₁Q，
∴|PF₁|²=|PQ|²+|QF₁|²，
即（2m+2a）²=（3m）²+（m+2a）²，
整理得4m²+8ma+4a²=9m²+m²+8ma+4a²，
即4am=6m²，
則m=$\frac{2}{3}$a，
則|QF₁|=$\frac{2}{3}$a+2a=$\frac{8a}{3}$，|F₂Q|=$\frac{2}{3}$a，
由|F₁F₂|²=|F₁Q|²+|QF₂|²，
即4c²=（$\frac{8a}{3}$）²+（$\frac{2}{3}$a）²=$\frac{68{a}^{2}}{9}$，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{17}{9}$，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{17}{9}}$=$\frac{\sqrt{17}}{3}$，
故選：D．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)直角三角形的定義結(jié)合雙曲線的定義建立方程公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，考查學(xué)生的計算能力．