Question

【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早1千多年．在《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為塹堵，陽(yáng)馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個(gè)面均為直角三角形的四面體．如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC．
（Ⅰ）求證：四棱錐B﹣A1ACC1為陽(yáng)馬；并判斷四面體B﹣A1CC1是否為鱉臑，若是，請(qǐng)寫(xiě)出各個(gè)面的直角（只要求寫(xiě)出結(jié)論）．
（Ⅱ）若A1A=AB=2，當(dāng)陽(yáng)馬B﹣A1ACC1體積最大時(shí)，求二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由塹堵ABC﹣A1B1C1的性質(zhì)得：四邊形A1ACC1是矩形， ∵A1A⊥底面ABC，BC平面ABC，
∴BC⊥A1A，又BC⊥AC，A1A∩AC=A，A1A，AC平面A1ACC1 ，
∴BC⊥平面A1ACC1 ，
∴四棱錐B﹣A1ACC1為陽(yáng)馬，
四面體B﹣A1CC1是否為鱉臑，四個(gè)面的直角分別是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1 ， ∠A1C1B．
解：（Ⅱ）∵A1A=AB=2，
由（Ⅰ）知陽(yáng)馬B﹣A1ACC1的體積：
= = ≤ ，
當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC= 時(shí)， ，
以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A1（0， ，2），B（ ，0，0），C1（0，0，2），
∴ =（0， ，2）， =（ ，0，0）， =（0， ，0）， =（ ，0，﹣2），
設(shè)平面CA1B的法向量 =（x，y，z），
則 ，取y= ，得 =（0， ，﹣1），
設(shè)平面C1A1B的法向量 =（a，b，c），
則 ，取a= ，得 =（ ，0，1），
設(shè)當(dāng)陽(yáng)馬B﹣A1ACC1體積最大時(shí)，二面角C﹣A1B﹣C1的平面角為θ，
則cosθ= = = ，
∴當(dāng)陽(yáng)馬B﹣A1ACC1體積最大時(shí)，二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值為
【解析】（Ⅰ）由塹堵ABC﹣A1B1C1的性質(zhì)得：四邊形A1ACC1是矩形，推導(dǎo)出BC⊥A1A，BC⊥AC，從而B(niǎo)C⊥平面A1ACC1 ， 由此能證明四棱錐B﹣A1ACC1為陽(yáng)馬，四面體B﹣A1CC1是否為鱉臑，四個(gè)面的直角分別是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1 ， ∠A1C1B．（Ⅱ）陽(yáng)馬B﹣A1ACC1的體積： ≤ ，當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC= 時(shí)， ，以C為原點(diǎn)，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)陽(yáng)馬B﹣A1ACC1體積最大時(shí)，二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用棱錐的結(jié)構(gòu)特征和直線與平面垂直的性質(zhì)，掌握側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行即可以解答此題．