Question

11．已知f（x）=ax³-x²-x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）=$\frac{{3\sqrt{e}}}{4}{e^x}$（e是自然對數(shù)的底數(shù)），f（x）的圖象在x=-$\frac{1}{2}$處的切線方程為y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$．
（1）求a，b的值；
（2）探究直線y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$．是否可以與函數(shù)g（x）的圖象相切？若可以，寫出切點的坐標，否則，說明理由；
（3）證明：當x∈（-∞，2]時，f（x）≤g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程求出a的值，求出A的坐標，得到關(guān)于b的方程，解出即可；
（2）設(shè)出切點A，根據(jù)切線方程求出A的坐標，從而求出切線方程，整理即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為x∈（-∞，2]時，f（x）≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$，令k（x）=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$-f（x）=-x³+x²+$\frac{7}{4}$x+$\frac{1}{2}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（1）f′（x）=3ax²-2x-1，
∵f（x）的圖象在x=-$\frac{1}{2}$處的切線方程是y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$，
故f′（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，即3a•${（-\frac{1}{2}）}^{2}$-2•（-$\frac{1}{2}$）-1=$\frac{3}{4}$，解得：a=1；
故f（x）的圖象過A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
故${（-\frac{1}{2}）}^{3}$-${（-\frac{1}{2}）}^{2}$-（-$\frac{1}{2}$）+b=$\frac{3}{4}$，解得：b=$\frac{5}{8}$，
綜上，a=1，b=$\frac{5}{8}$；
（2）設(shè)直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$與函數(shù)g（x）的圖象相切于A（x₀，y₀），
∵g′（x）=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e^x，∴過A點的直線的斜率是g′（x₀）=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$${e}^{{x}_{0}}$，
又直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$的斜率是$\frac{3}{4}$，故$\frac{3\sqrt{e}}{4}$${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{3}{4}$，解得：x₀=-$\frac{1}{2}$，
將x₀=-$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e^x得點A的坐標是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），
故切線方程為：y-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$（x+$\frac{1}{2}$），化簡得y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$，
故直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$可以與函數(shù)g（x）的圖象相切，切點坐標是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
（3）要證明：x∈（-∞，2]時，f（x）≤g（x），
只需證明x∈（-∞，2]時，f（x）≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$，
令k（x）=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$-f（x）=-x³+x²+$\frac{7}{4}$x+$\frac{1}{2}$，
k′（x）=-3x²+2x+$\frac{7}{4}$，令k′（x）=-3x²+2x+$\frac{7}{4}$=0，
解得：x=-$\frac{1}{2}$，x=$\frac{7}{6}$，
故k（x）_min=min{k（-$\frac{1}{2}$），k（2）}，
∵k（-$\frac{1}{2}$）=0，k（2）=0，故k（x）_min=0，
故?x∈（-∞，2]，f（x）≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$成立，
?x∈（-∞，2]，令h（x）=g（x）-（$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$）=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e^x-$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{8}$，
h′（x）=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e^x-$\frac{3}{4}$，令h′（x）=0，x=-$\frac{1}{2}$，
x∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）時，h′（x）＜0，當x∈（-$\frac{1}{2}$，2]時，h′（x）＞0，
故h（x）≥h（-$\frac{1}{2}$）=0，即?x∈（-∞，2]時，g（x）≥$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$，
由不等式的性質(zhì)的傳遞性得：x∈（-∞，2]時，f（x）≤g（x）．

點評 本題考查了切線方程問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．