Question

4．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，$\frac{xf'（x）+f（x）}{x^2}＞0$（x＞0），則不等式x²f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 不能式等價于f（x）＞0，x≠0的解集，構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)得出f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．

解答 解：不等式x²f（x）＞0的解集也是f（x）＞0，x≠0的解集，
令g（x）=xf（x），可知g（x）在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
當(dāng)x＞0時，g'（x）=xf'（x）+f（x）＞0，g（1）=0，
∴當(dāng)x＞1時，g（x）＞0，f（x）＞0，
根據(jù)奇函數(shù)定義可知，
當(dāng)-1＜x＜0時，g（x）＜0，f（x）＞0，
∴f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）．
故答案為（-1，0）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的構(gòu)造和導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，難點是對題意的準(zhǔn)確理解和對函數(shù)的構(gòu)造．