Question

15．已知函數(shù)f（x）=e^x+2x-a，a∈R，若曲線y=sinx上存在點(diǎn)（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1+e^-1，1+e]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由正弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得：y=sinx上存在點(diǎn)（x₀，y₀），可得y₀=sinx₀∈[-1，1]．函數(shù)f（x）=e^x+2x-a在[-1，1]上單調(diào)遞增．利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性可以證明f（y₀）=y₀．令函數(shù)f（x）=e^x+2x-a=x，化為a=e^x+x．令g（x）=e^x+x （x∈[-1，1]）．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：曲線y=sinx上存在點(diǎn)（x₀，y₀），
∴y₀=sinx₀∈[-1，1]．
函數(shù)f（x）=e^x+2x-a在[-1，1]上單調(diào)遞增．
下面證明f（y₀）=y₀．
假設(shè)f（y₀）=c＞y₀，則f（f（y₀））=f（c）＞f（y₀）=c＞y₀，不滿足f（f（y₀））=y₀．
同理假設(shè)f（y₀）=c＜y₀，則不滿足f（f（y₀））=y₀．
綜上可得：f（y₀）=y₀．
令函數(shù)f（x）=e^x+2x-a=x，化為a=e^x+x．
令g（x）=e^x+x（x∈[-1，1]）．
g′（x）=e^x+1＞0，∴函數(shù)g（x）在x∈[-1，1]單調(diào)遞增．
∴e^-1-1≤g（x）≤e+1．
∴a的取值范圍是[-1+e^-1，e+1]；
故答案為：[-1+e^-1，e+1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為f（x）=x在[-1，1]上有解的問題．