Question

已知點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

且AB：BC：CA=5：4：3，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

A．點(diǎn)O在△ABC外

B．S_△AOB：S_△BOC：S_△COA=6：3：2

C．點(diǎn)O到AB，BC，CA距離的比是72：45：40

D．O，A，B，C四點(diǎn)共圓

Answer 1

分析：由題意可對3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

變形，可變?yōu)?span id="fwudfsa" class="MathJye">3(

OA

-

OC

)+2(

OB

-

OC

)=

OC

即

OC

=3

CA

+2

CB

，再由AB：BC：CA=5：4：3，不妨令A(yù)B，BC，CA長度分別為5，4，3，由勾股定理可得出此三角形是直角三角形，由這些幾何特征作出如圖的圖形，由圖對四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷找出錯(cuò)誤選項(xiàng)，A選項(xiàng)由圖就可判斷出正確，B選項(xiàng)可先根據(jù)圖形求出三個(gè)三角形的面積，作比驗(yàn)證；C選項(xiàng)可求出O到AB，BC，CA的距離，再求它們的比驗(yàn)證，D選項(xiàng)由圖即可觀察出正誤

解答：解：由題意，已知點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，
3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

可變?yōu)?span id="eyldhan" class="MathJye">3(

OA

-

OC

)+2(

OB

-

OC

)=

OC

即

OC

=3

CA

+2

CB

又，不妨令A(yù)B，BC，CA長度分別為5，4，3，
由于5²=4²+3²，可知角C是直角，如圖CE=9，CD=8，CF=OC=

145

由圖知，A選項(xiàng)中點(diǎn)O在△ABC外正確
B選項(xiàng)中，S_△BOC=

1

2

×4×9=18，S_△COA=

1

2

×3×8=12，S_△AOB=S_△BOC+S_△COA+S_△CB=18+12+6=36，
故S_△AOB：S_△BOC：S_△COA=36：18：12=6：3：2，B選項(xiàng)中的結(jié)論正確
C選項(xiàng)中，由作圖知點(diǎn)O到BC，CA距離分別是9，8，到AB的距離為

S△AOB

AB

×2=

72

5

，于是點(diǎn)O到AB，BC，CA距離的比是

72

5

：9：8=72：45：40，故C選項(xiàng)中的結(jié)論正確
D選項(xiàng)中O，A，B，C四點(diǎn)共圓不正確，因?yàn)镃點(diǎn)在三角形AOB內(nèi)．
綜上知，D選項(xiàng)是錯(cuò)誤的
故選D

點(diǎn)評：本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，考查由向量的運(yùn)算，得出所研究幾何對象的幾何特征，解題的關(guān)鍵是理解題意，由題設(shè)條件判斷出四點(diǎn)O，A，B，C的相對位置，它們的幾何特征，這些幾何特征是解題的重點(diǎn)，本題的難點(diǎn)是處理題設(shè)中條件3

OA

+2

OB

-6

OC

=

0

與AB：BC：CA=5：4：3，解答本題也要注意賦值的技巧，由于本題中兩個(gè)選項(xiàng)研究位置關(guān)系，兩個(gè)選項(xiàng)研究的是比值關(guān)系，故采取了特值法不妨令A(yù)B，BC，CA長度分別為5，4，3，此做法大大降低了計(jì)算難度，做題時(shí)要恰當(dāng)使用，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，判斷推理的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大